## [Castiglianos Satz](/de/node/64476) Definition Für ein linear-elastisches, konservatives Tragwerk, dessen Verzerrungsenergie U als Funktion der angelegten verallgemeinerten Lasten definiert ist, gilt: die partielle Ableitung von U nach einer angreifenden Kraft liefert die Verschiebung am Angriffspunkt in der entsprechenden Richtung; die partielle Ableitung nach einem Moment liefert die Rotation. Vorausgesetzt werden differenzierbare Energie und kleine Verformungen, so dass das Prinzip der virtuellen Arbeit und Superposition gelten. ## Prinzip Prinzip Energie–kinematische Dualität: Die infinitesimale Änderung der gespeicherten Verzerrungsenergie infolge einer infinitesimalen Änderung einer verallgemeinerten Last entspricht der dazu konjugierten verallgemeinerten Verschiebung. ## Demonstration Demonstration Illustratives Beispiel (Balken): Situation — ein einfach unterstützter Balken trägt in der Mitte eine konzentrierte Vertikalkraft P. Erkennung — Ausdruck des Biegemoments M(x) als Funktion von P und Berechnung der Energie U = ∫ (M(x)^2 / 2EI) dx. Handlung — Bildung von ∂U/∂P. Folge — ∂U/∂P ergibt die vertikale Durchbiegung am Lastangriffspunkt, dieselbe wie durch direkte Durchbiegungsformel, womit der Satz demonstriert wird. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Anwendung des Satzes auf Strukturen mit nichtkonservativen (folgenden) Kräften, zeitabhängigen Materialien (Viscoelastizität), großen Verformungen oder wenn die Verzerrungsenergie nicht eindeutig definiert ist; der Denkfehler ist das Unterstellen von Differenzierbarkeit und Energieerhaltung außerhalb ihres Geltungsbereichs. ## Konsequenz Konsequenz Ermöglicht die Berechnung von Verschiebungen und Rotationen aus Innenkraftausdrücken ohne direkte Lösung der Gleichgewichtsgleichungen für die Verschiebungen; vereinfacht die Analyse statisch unbestimmter Systeme und die Ableitung von Einflusskoeffizienten bei bekannter linearer Elastizitätsbeziehung und Geometrie. ## Umkehrung Umkehrung Entfällt oder muss modifiziert werden, wenn Materialien nichtlinear plastisch verhalten, Lasten folgender Natur sind, Verformungen so groß werden, dass die Linearisierung versagt, oder wenn dissipative, wegabhängige Prozesse die gespeicherte Energie verändern. ## Abgrenzung Abgrenzung Eindeutig innerhalb — linear-elastischer Träger unter konservativen statischen Lasten. Grenzfall — Struktur mit kleinen plastischen Zonen, wo lokal e‑p‑Partition möglich ist, aber globale Differenzierbarkeit verloren geht. Eindeutig außerhalb — starrer Mechanismus (keine Verzerrungsenergie) oder durch Dämpfung dominierte Systeme. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Energieverfahren (Castigliano) ⇄ Gleichgewichts-/Steifigkeitsverfahren: Energiegestützte Formulierungen liefern Verschiebungen durch Differentiation eines Skalars, Steifigkeitsverfahren durch Lösen von Gleichgewichts–Gleichungssystemen; die Methoden konkurrieren in Praktikabilität und Datengrundlage. ## Synthese Synthese Castigliano stellt die direkte Dualität her: Kenntnis des Energiefunctionals erlaubt Kinematik per Ableitung — ein praktischer Weg, um aus inneren Kräften Verschiebungen zu gewinnen, jedoch ausschließlich im linearen, konservativen Bereich mit wohldefinierter Energie.