##  [Maxwell‑Betti‑Reziprozitätssatz](/de/node/64478) 

 Definition

In einem linear-elastischen, statisch zulässigen Tragwerk bei kleinen Verformungen und konservativer Belastung gilt: Die Arbeit, die ein System äußerer Kräfte durch die durch ein zweites System verursachten Verschiebungen leistet, ist gleich der Arbeit des zweiten Systems durch die Verschiebungen, die das erste System erzeugt. Entsprechend sind Einfluss- bzw. Flexibilitätskoeffizienten symmetrisch.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Reziprozität: Paarweise Einflüsse sind symmetrisch — die Verschiebung an Punkt i infolge einer Einheitslast in j ist gleich der Verschiebung an j infolge derselben Einheitslast in i unter Einhaltung von Linearität und konservativen Bedingungen.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Illustratives Szenario (zwei Lastpunkte): Situation — Aufbringen von Last A in Punkt 1 und Last B in Punkt 2 eines linear-elastischen Rahmens. Erkennung — Bestimmung der Arbeit WA = ∑ Fi·ui(B), wobei ui(B) die Verschiebungen unter B sind, und analog WB = ∑ Fi·ui(A). Handlung — Vergleich von WA und WB. Folge — WA = WB; experimentell kann damit eine gemessene Verschiebung unter Last am anderen Punkt als deren Reziproke genutzt werden.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Annahme, Reziprozität gelte bei geometrischer Nichtlinearität, bei folgender Belastung, bei wegabhängigem Materialverhalten oder bei aktiven/anisotropen Bauteilen; der Fehler liegt im universellen Unterstellen von Superposition und Arbeitssymmetrie.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Praktische Ersparnis: Die Messung oder Berechnung eines Einflusskoeffizienten liefert dessen Reziproken ohne erneuten Test; rechtfertigt die Symmetrie von Steifigkeits‑ und Flexibilitätsmatrizen in der linearen Strukturanalyse und verringert den Rechen- bzw. Versuchsaufwand.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Reziprozität greift nicht oder muss angepasst werden, wenn Linearität verletzt ist (große Verformungen), Lasten nichtkonservativ sind, das Material wegunabhängig reagiert oder aktive Elemente nichtreziprokes Verhalten einführen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Eindeutig innerhalb — linear-elastischer Fachwerk- oder Riegelbau in kleinen Verformungen und konservativen statischen Lasten. Grenzfall — vorgespanntes Element, bei dem der Anfangszustand die lineare Antwort ändert, aber Reziprozität für die inkrementelle Linearisierung verbleiben kann. Eindeutig außerhalb — Systeme mit nichtkonservativen Aktuatoren oder starker geometrischer Nichtlinearität.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Reziprozität (Symmetrie der Einflussgrößen) ⇄ Kausalität/Reihenfolge der Lastanwendung: Reziprozität ist eine mathematische Symmetrie unter Linearität, während physikalische Experimente oder dynamische Effekte gerichtete Erscheinungen zeigen können, die die Anwendung der Reziprozität praktisch einschränken.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Maxwell–Betti offenbart, dass im linear-konservativen Bereich Antwortkoeffizienten symmetrisch sind — dies reduziert Prüf- und Rechenaufwand — jedoch hängt die Symmetrie strikt von Linearitäts- und Energieerhaltungsvoraussetzungen ab.