##  [Cauchys Bewegungsgleichung](/de/node/65804) 

 Definition

Lokale, punktweise Darstellung der Erhaltung des linearen Impulses in einem Kontinuum: ρ (D v / D t) = ∇·σ + ρ b, wobei ρ die Massendichte, v das Geschwindigkeitsfeld, D/Dt die Materialableitung, σ der Cauchy‑Spannungstensor und b die Körperkraft pro Masseneinheit sind. Die Gleichung besagt, dass die Trägheit (Masse × Beschleunigung) gleich der Divergenz innerer Spannungen zuzüglich äußerer Körperkräfte ist, unter den Annahmen des Kontinuums und ausreichender Differenzierbarkeit.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Die Beschleunigung eines Materialelements wird durch das lokale Ungleichgewicht zwischen Spannungsdivergenz und Körperkräften verursacht; zusammen mit einer konstitutiven Beziehung für σ ergibt sich ein geschlossenes PDE‑System für die Bewegung.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Illustratives Beispiel: ein kleines Fluidelement in einem druckgetriebenen Strom. Erkennung: ein lokaler Druckgradient erzeugt ein nichtnulles ∇·σ. Handlung: Bestimmen von ρ (D v/D t) aus der beobachteten Geschwindigkeitsänderung. Folge: die gemessene Beschleunigung stimmt mit (∇·σ)/ρ plus den Körperkraftbeiträgen (z. B. Schwerkraft) überein und bestätigt die Impulsbilanz am Kontinuumspunkt.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Die Gleichung direkt auf molekulare Skalen oder diskrete Teilchensysteme anzuwenden, ohne einen Kontinuumsgrenzwert zu bilden; oder den Trägheitsterm (Materialableitung) in Regimen zu vernachlässigen, in denen unstationäre oder konvektive Beschleunigung wesentlich ist (falsche Annahme der quasistatischen Lösung).

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

In Verbindung mit konstitutiven Gesetzen und Rand-/Anfangsbedingungen liefert sie die gehenden PDEs (z. B. Navier–Stokes für newtonsche Fluide, Impulsgleichungen für elastische Festkörper), deren Lösungen Geschwindigkeiten und Spannungen bestimmen; fehlende physikalische Abschlüsse führen zu falsch formulierten Problemen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die angegebene Form setzt die klassische Kontinuumshypothese und das Fehlen von Paarkräften oder Mikrostruktur voraus; in mikropolaren, Cosserat‑ oder Couple‑Stress‑Kontinua treten zusätzliche Gleichungen und Terme auf, und σ kann unsymmetrisch sein.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für Kontinua mit ausreichender Regularität zur Definition räumlicher Ableitungen, auf Längenskalen, auf denen eine Kontinuumsbeschreibung gilt, und in nichtrelativistischen mechanischen Regimen; schließt singuläre Flächen (außer distributionsmäßig behandelt) und Regime mit diskreten oder molekularen Modellen aus.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Kontinuumsgenauigkeit gegenüber diskreter Modellierung: Die Gleichung ist in der Kontinuumsmechanik zutreffend, kann aber bei fehlender Skalentrennung mit teilchenbasierten Beschreibungen kollidieren.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Die Cauchy‑Bewegungsgleichung ist die lokale Rechenvorschrift der Mechanik: Zur Vorhersage einer Beschleunigung müssen Spannungsdivergenzen und Körperkräfte ausbalanciert und eine geeignete konstitutive Schließung angegeben werden.