## [Integral de Duhamel](/es/node/65802) Definición Para un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) y causal, la integral de Duhamel expresa la respuesta en el dominio temporal y(t) a una entrada arbitraria f(t) como la convolución de la respuesta al impulso h(t) del sistema con la entrada: y(t) = ∫_0^t h(t − τ) f(τ) dτ (más la solución homogénea que incorpora condiciones iniciales). Opera la superposición integrando las contribuciones de impulsos infinitesimales a lo largo del tiempo pasado. ## Principio Principio Dado que la respuesta de un sistema LTI a un impulso desplazado es la respuesta al impulso desplazada y las respuestas se superponen, la respuesta total a una excitación arbitraria es la convolución temporal de la excitación con la respuesta al impulso; la integral de Duhamel implementa esta convolución causal en el dominio temporal. ## Demostración Demostración Escenario ilustrativo → Un oscilador con amortiguamiento y un grado de libertad tiene una respuesta al impulso h(t) (medible o derivable). Dada una historia de fuerza f(t) aplicada desde t = 0 en un sistema estable y con parámetros constantes, se calcula el desplazamiento y(t) para t ≥ 0 evaluando y(t) = ∫_0^t h(t − τ) f(τ) dτ y sumando la solución homogénea si existen desplazamiento/velocidad iniciales no nulos. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Aplicar la integral de Duhamel a sistemas no lineales, que varían en el tiempo o no causales; el error semántico es asumir superposición lineal e invariancia temporal donde no existen, lo que produce respuestas incorrectas porque las respuestas al impulso y la convolución no son válidas fuera del marco LTI causal. ## Consecuencia Consecuencia Proporciona un método directo en el dominio temporal para computar respuestas del sistema a partir de respuestas al impulso o contribuciones modales, sustentando la simulación temporal, el diseño de control, la respuesta estructural a cargas transitorias y el procesamiento de señales; además contiene la misma información que métodos de función de transferencia pero enfatiza la causalidad y el ensamblaje temporal de los efectos. ## Inversión Inversión Para sistemas lineales pero que varían en el tiempo, el núcleo se convierte en una función de Green de dos tiempos G(t, τ) y la respuesta es y(t) = ∫ G(t, τ) f(τ) dτ; para sistemas no lineales se deben usar series de Volterra, integración numérica de las ecuaciones gobernantes o linealización incremental — la convolución simple de Duhamel deja de ser aplicable. ## Límite Límite Claramente dentro: sistemas causales lineales invariantes en el tiempo con respuesta al impulso conocida y entradas definidas para t ≥ 0. Caso límite: sistemas aproximadamente LTI en un rango operativo limitado donde la convolución ofrece predicciones aproximadas útiles. Claramente fuera: dinámicas fuertemente no lineales, sistemas paramétricos variantes en el tiempo o sistemas con núcleos de memoria que violan la superposición. ## Tensión semántica Tensión semántica La formulación por convolución temporal de Duhamel compite con los métodos en dominio de la frecuencia por función de transferencia: ambos son equivalentes matemáticamente para sistemas LTI, pero el dominio temporal enfatiza la causalidad y los transitorios mientras que el dominio frecuencial resalta características espectrales y comportamiento en régimen permanente. ## Síntesis Síntesis La integral de Duhamel es la implementación causal en tiempo del principio de superposición para sistemas LTI: reconstruye la respuesta integrando las contribuciones de impulsos pasados; su fiabilidad depende totalmente de la linealidad, invariancia temporal y causalidad, y se generaliza a funciones de Green para problemas variante en el tiempo.