##  [Ecuación de Movimiento de Cauchy](/es/node/65804) 

 Definición

Declaración local, punto por punto, de la conservación del momento lineal en un continuo: ρ (D v / D t) = ∇·σ + ρ b, donde ρ es la densidad de masa, v el campo de velocidad, D/Dt la derivada material, σ el tensor de tensiones de Cauchy y b la fuerza de volumen por unidad de masa. La ecuación expresa que la masa por aceleración material es igual a la divergencia de las tensiones internas más las fuerzas de volumen externas, bajo las hipótesis de continuo y diferenciabilidad.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

La aceleración de un elemento material proviene del desequilibrio local entre la divergencia tensional y las fuerzas de volumen; combinada con una relación constitutiva para σ, la ecuación produce EDP cerradas para el movimiento.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Escenario ilustrativo: un pequeño elemento de fluido en un flujo impulsado por presión. Reconocimiento: un gradiente de presión se traduce en ∇·σ distinto de cero. Acción: calcular ρ (D v/D t) a partir del cambio de velocidad medido. Consecuencia: la aceleración observada concuerda con (∇·σ)/ρ más la contribución de fuerzas de volumen (p. ej. gravedad), validando el balance de momento en el punto del continuo.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Aplicarla directamente a escalas moleculares o a sistemas de partículas discretas sin pasar al límite continuo; u omitir el término inercial (derivada material) en regímenes donde la aceleración convectiva o no estacionaria es relevante (asunción errónea de cuasiestaticidad).

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Al combinarse con leyes constitutivas y condiciones de contorno/iniciales apropiadas, genera las EDP gobernantes (p. ej. Navier–Stokes para fluidos newtonianos, ecuaciones de movimiento para sólidos elásticos) cuyas soluciones determinan velocidades y tensiones; la falta de cierre constitutivo adecuado conduce a problemas mal planteados o a predicciones incorrectas.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

La forma indicada requiere la hipótesis clásica del continuo y la ausencia de esfuerzos de par o microestructura; en continuos micropolares, Cosserat o de esfuerzo por par aparecen relaciones adicionales y σ puede ser no simétrico.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se aplica a continuos con regularidad suficiente para definir derivadas espaciales, en escalas donde la descripción continua es válida y en mecánica no relativista; excluye superficies singulares (salvo tratamiento por distribuciones) y regímenes que demanden modelos discretos o moleculares.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Fidelidad del continuo frente al modelado discreto: la ecuación es exacta en mecánica del continuo pero puede no ser compatible con descripciones particuladas si falta separación de escalas.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

La Ecuación de Movimiento de Cauchy es la regla local de contabilidad mecánica: para predecir aceleraciones hay que equilibrar divergencias de tensiones y fuerzas de volumen y proporcionar un cierre constitutivo adecuado al modelo de continuo elegido.