## [Ecuaciones de Placa de Von Kármán](/es/node/65810) Definición Sistema acoplado no lineal de ecuaciones en derivadas parciales que describe el comportamiento elástico de grandes deformaciones de placas delgadas dentro de la aproximación geométrica de von Kármán: la deflexión transversal w(x,y) se acopla con una función de tensión de Airy φ(x,y) de modo que las tensiones membrana en el plano influyen en la flexión y viceversa. La formulación supone pequeñas deformaciones, rotaciones moderadas, cinemática de placa delgada (hipótesis de Kirchhoff) y comportamiento elástico, produciendo no linealidad cúbica en w y φ. ## Principio Principio La no linealidad geométrica por rotaciones moderadas acopla tensiones membrana in‑plane con la flexión transversal: la deflexión transversal altera la métrica in‑plane, lo que genera tensiones membrana que modifican la rigidez a flexión y el equilibrio, produciendo equilibrios múltiples y comportamiento carga‑deflexión no lineal aun en materiales elásticos. ## Demostración Demostración Escenario ilustrativo: placa circular empotrada sometida a una carga central transversal que aumenta progresivamente. Reconocimiento: la deflexión crece hasta que aparece la acción membrana. Acción: resolver numéricamente las ecuaciones de von Kármán para capturar el efecto de endurecimiento por tensión in‑plane y posibles trayectorias post‑pandeo. Consecuencia: la curva carga‑deflexión pronosticada se aparta de la teoría lineal y puede mostrar puntos límite o bifurcaciones ausentes en modelos lineales. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Usar las ecuaciones de von Kármán fuera de sus límites cinemáticos (p. ej. rotaciones/deformaciones muy grandes, comportamiento plástico del material, o para placas gruesas donde la deformación por corte es importante) o sustituirlas por la teoría lineal de Kirchhoff cuando los efectos membrana son significativos conduce a errores cualitativos y cuantitativos. ## Consecuencia Consecuencia Proporcionan el modelo mínimamente no lineal de placa que capta la interacción membrana‑flexión: se usan para predecir pre‑ y post‑pandeo, endurecimiento o ablandamiento bajo carga y cargas límite para placas delgadas elásticas; el uso indebido produce predicciones de estabilidad y resistencia poco fiables. ## Inversión Inversión Si las deformaciones dejan de ser pequeñas, el material entra en fluencia/plasticidad, o el espesor no es pequeño respecto a otras dimensiones, la aproximación de von Kármán es inválida y deben emplearse teorías de placas/cáscaras totalmente no lineales, plasticidad o elasticidad tridimensional; para problemas dinámicos se añaden términos de inercia sin alterar las hipótesis geométricas. ## Límite Límite Se aplica a placas delgadas y elásticas con pequeñas deformaciones y rotaciones moderadas bajo cinemática de Kirchhoff (sin corte transversal), con leyes constitutivas isotrópicas o sencillas anisotrópicas; excluye placas gruesas, plasticidad de grandes deformaciones y situaciones que requieren tratamiento 3‑D del continuo o teorías de deformación por corte de orden superior. ## Tensión semántica Tensión semántica Capacidad de solución versus exhaustividad física: las ecuaciones de von Kármán equilibran complejidad manejable y no linealidad geométrica esencial, pero pueden inducir a error si efectos físicos omitidos (corte, plasticidad, grandes deformaciones) son relevantes. ## Síntesis Síntesis Las ecuaciones de placa de von Kármán capturan el acoplamiento geométrico esencial que convierte la flexión en un problema no lineal afectado por la acción membrana: constituyen el modelo intermedio canónico entre la teoría lineal de placas y la elasticidad tridimensional no lineal para grandes deformaciones de placas delgadas.