##  [Théorème de Réciprocité de Maxwell‑Betti](/fr/node/64478) 

 Définition

Dans une structure linéaire, élastique et admissible statiquement, en petites déformations et sous charges conservatives, le travail effectué par un système de forces extérieures agissant à travers les déplacements causés par un second système est égal au travail du second système agissant à travers les déplacements causés par le premier. Autrement dit, les coefficients d'influence (flexibilité) sont symétriques.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Réciprocité : l'influence par paires est symétrique — le déplacement au point i dû à une charge unitaire au point j égale le déplacement au point j dû à la même charge unitaire au point i, sous les hypothèses de linéarité et de charges conservatives.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Scénario illustratif (chargement en deux points) : Situation — appliquer une charge A au point 1 et une charge B au point 2 d'un cadre élastique linéaire. Reconnaissance — calculer le travail WA = ∑ Fi·ui(B) où ui(B) sont les déplacements sous B, et WB = ∑ Fi·ui(A) de façon analogue. Action — comparer WA et WB. Conséquence — WA = WB ; une mesure expérimentale du déplacement en un point sous charge à l'autre point donne la valeur réciproque.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Supposer la réciprocité en présence de nonlinéarité géométrique, de charges suiveuses, de comportement matériel dépendant du chemin ou d'éléments actifs/anisotropes ; l'erreur est de traiter la superposition et la symétrie du travail comme universelles.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Offre des raccourcis pratiques : la mesure ou le calcul d'un coefficient d'influence fournit son réciproque sans nouveau test ; justifie la symétrie des matrices de raideur et de flexibilité en analyse linéaire et réduit les calculs ou essais nécessaires.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La réciprocité échoue si la linéarité est violée (grandes déformations), si les charges sont non conservatives (charges suiveuses), si le matériau présente une dépendance au trajet, ou si des éléments actifs introduisent des interactions non réciproques.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Clairement à l'intérieur — treillis ou cadre linéaire en petites déformations sous charges statiques conservatives. Cas limite — éléments précontraints où l'état initial modifie la réponse linéaire mais la réciprocité peut subsister pour la linéarisation incrémentale si les hypothèses sont respectées. Clairement à l'extérieur — systèmes avec actionneurs nonconservatifs ou forte nonlinéarité géométrique.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Réciprocité (symétrie des influences) ⇄ causalité/ordre d'application des charges : la réciprocité est une propriété mathématique symétrique sous linéarité, tandis que les expériences physiques ou réponses dynamiques peuvent présenter des effets directionnels qui n'invalident pas la réciprocité mais en limitent l'interprétation expérimentale.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Maxwell–Betti montre que, dans le régime linéaire et conservative, les coefficients de réponse structurale sont symétriques — ce qui réduit essais et calculs — mais cette symétrie dépend strictement des hypothèses de linéarité et de conservation d'énergie.