##  [Équation du Mouvement de Cauchy](/fr/node/65804) 

 Définition

Énoncé local de la conservation de la quantité de mouvement linéaire dans un continuum : ρ (D v / D t) = ∇·σ + ρ b, où ρ est la masse volumique, v le champ de vitesse, D/Dt la dérivée matérielle, σ le tenseur des contraintes de Cauchy et b la force volumique par unité de masse. L’équation signifie que la masse multipliée par l’accélération matérielle est égale à la divergence des contraintes internes plus les forces volumiques externes, sous les hypothèses de continuum et de différentiabilité.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

L’accélération d’un élément matériel résulte du déséquilibre local entre la divergence des contraintes et les forces volumiques ; couplée à une loi constitutive pour σ, l’équation forme un système d’EDP fermées décrivant le mouvement.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Scénario illustratif : un élément fluide soumis à un gradient de pression. Reconnaissance : le gradient de pression se manifeste par ∇·σ non nul. Action : calculer ρ (D v/D t) à partir de la variation de vitesse observée. Conséquence : l’accélération observée coïncide avec (∇·σ)/ρ plus la contribution des forces volumiques (p. ex. gravité), validant le bilan des quantités de mouvement au point du continuum.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer l’équation directement à l’échelle moléculaire ou pour des systèmes de particules discrètes sans passage au continuum ; ou omettre le terme inertiel (dérivée matérielle) dans des régimes où l’accélération non stationnaire ou convective est significative (erreur de quasi‑statique).

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Associée à une loi constitutive et à des conditions aux limites/initiales, elle produit les EDP gouvernantes (p. ex. Navier–Stokes pour un fluide newtonien, équations de la dynamique des solides élastiques) dont les solutions déterminent vitesses et contraintes ; l’absence de fermeture constitutive correcte conduit à des problèmes mal posés ou à des prédictions erronées.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La forme donnée présuppose l’hypothèse de continuum classique et l’absence de couples ou de microstructures ; dans les milieux micropolaires, de Cosserat ou à couples de contraintes, des relations supplémentaires et des termes additives modifient l’équation et σ peut être non symétrique.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S’applique aux milieux continus suffisamment réguliers pour définir des dérivées spatiales, aux échelles où la moyenne par un continuum est valide, et en mécanique non relativiste ; exclut les surfaces singulières (sauf traitement distributionnel) et les régimes nécessitant des modèles discrets ou moléculaires.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Fidélité du continuum versus modèle discret : l’équation est exacte en mécanique des milieux continus mais peut être incompatible avec une description particulaire si la séparation d’échelle fait défaut.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L’équation de Cauchy est la règle locale de comptabilité mécanique : prédire une accélération exige d’équilibrer divergence des contraintes et forces volumiques, puis de fournir une fermeture constitutive adaptée au modèle de continuum choisi.