Eine mathematische Formel, die für eine M/M/c‑Warteschlange mit Poisson‑Ankünften, exponentiellen Bedienzeiten, c identischen Servern, unendlichem Warteraum und ohne Kundenabbrüche die stationäre Wahrscheinlichkeit angibt, dass ein ankommender Kunde warten muss (Wartewahrscheinlichkeit), sowie verwandte Leistungskennzahlen (z. B. mittlere Wartezeit, Warteschlangenlänge) als Funktionen der angebotenen Last, der Serveranzahl und der Bedienrate.

Prinzip

Unter den M/M/c‑Annahmen werden Wartewahrscheinlichkeit und Wartezeiten durch die angebotene Last a = λ/μ und die Anzahl der Server c bestimmt; die Auslastung pro Server ist ρ = a/c = λ/(c·μ). Erlang‑C berechnet die Verzögerungswahrscheinlichkeit, indem es die stationäre Lösung des Birth‑Death‑Prozesses für eine unendliche Warteschlange betrachtet, auf den Zustand «alle c Server sind beschäftigt» konditioniert und daraus die Wartewahrscheinlichkeit sowie abgeleitete Leistungskennzahlen ableitet.

Demonstration

Illustratives Beispiel → Situation: Ein Callcenter erhält Poisson‑Anrufe mit Rate λ=120/h; jeder Agent hat exponentialverteilte Bedienzeit Mittel 6 Minuten (μ=10/h); c=14 Agenten. → Erkennung: Die Systemannahmen M/M/c sind erfüllt und es wird kein Abbruch angenommen. → Handlung: Anwendung von Erlang C zur Bestimmung von P(wait) und Wq. → Folge: Das Management erhält den Anteil wartender Anrufer und die erwartete Wartezeit, um Personal zu planen oder Serviceziele zu bewerten.

Fehlanwendung

Erlang C anzuwenden, obwohl Ankünfte nicht Poisson sind, Bedienzeiten nicht exponentiell, Kunden abbrechen, die Disziplin nicht FIFO ist oder Kapazitätsgrenzen bestehen; der semantische Fehler liegt im Ignorieren der modellbildenden stochastischen Annahmen.

Konsequenz

Bei gültiger Anwendung liefert Erlang C geschlossene Formeln für Personalbemessung und Leistungsgrößen; bei Falschgebrauch unterschätzt es systematisch Wartezeiten und überschätzt den Servicegrad, weil Abbrüche, Nicht‑Exponentialität oder Ankunftsspitzen ignoriert werden.

Umkehrung

Existiert Kunden‑Impatience (Abbrüche) oder weichen Ankunfts‑/Serviceprozesse stark ab, ist M/M/c+M (Erlang A) oder ein allgemeineres Modell angemessen; bei starker Auslastung können Diffusions‑Approximationen für große Systeme sinnvoller sein.

Abgrenzung

Eindeutig innerhalb: Poisson‑Ankünfte, unabhängige exponentielle Bedienzeiten, c identische Server, FIFO, unendlicher Puffer, kein Abbruch. Randfall: Nahezu Poisson‑Ankünfte oder leichte Abweichungen von Exponentialität — Erlang C kann approximativ sein. Eindeutig außerhalb: Endliche Kapazität, explizite Abbrüche, Priorisierungen, zeitvariante Ankunftsraten ohne Anpassung.

Semantische Spannung

Analytische Einfachheit und geschlossene Formeln ↔ Modelltreue gegenüber realem Kundenverhalten (Abbrüche, Zeitvariationen, Nicht‑Exponentialität); die Verwendung von Erlang C ist ein Trade‑off zwischen Verständlichkeit und Genauigkeit.

Synthese

Erlang C übersetzt Angebot und Serveranzahl kompakt in Verzögerungswahrscheinlichkeiten unter strengen stochastischen Annahmen; seine praktische Relevanz hängt davon ab, ob diese Annahmen geprüft oder durch passendere Modelle ersetzt werden.