En una estructura lineal, elástica y admisible estáticamente, con pequeñas deformaciones y cargas conservativas, el trabajo realizado por un primer sistema de fuerzas externas actuando a través de los desplazamientos producidos por un segundo sistema es igual al trabajo del segundo sistema actuando a través de los desplazamientos producidos por el primero. Equivalentemente, los coeficientes de influencia (flexibilidad) son simétricos.

Principio

Reciprocidad: la influencia por pares es simétrica — el desplazamiento en el punto i debido a una carga unitaria en j es igual al desplazamiento en j debido a la misma carga unitaria en i, siempre que se cumplan linealidad y condiciones conservativas.

Demostración

Escenario ilustrativo (dos puntos de carga): Situación — aplicar carga A en el punto 1 y carga B en el punto 2 de un bastidor lineal elástico. Reconocimiento — calcular el trabajo WA = ∑ Fi·ui(B), donde ui(B) son los desplazamientos bajo B, y WB = ∑ Fi·ui(A) análogamente. Acción — comparar WA y WB. Consecuencia — WA = WB; medir experimentalmente el desplazamiento en un punto bajo carga en el otro punto proporciona el valor recíproco.

Aplicación incorrecta

Asumir que la reciprocidad se mantiene con no linealidad geométrica, cargas seguidoras, comportamiento material dependiente del camino o elementos activos/anisótropos; el error es tratar la superposición y la simetría del trabajo como universales.

Consecuencia

Aporta atajos prácticos: una medición o cálculo de un coeficiente de influencia sirve para su recíproco sin nuevo ensayo; justifica la simetría de matrices de rigidez y flexibilidad en análisis lineal y reduce cálculos o ensayos necesarios.

Inversión

No se cumple o requiere modificación si se viola la linealidad (grandes deformaciones), las cargas son no conservativas, el material muestra dependencia del camino o los elementos activos introducen interacciones no recíprocas.

Límite

Claramente dentro — entramado o bastidor lineal-elástico en pequeñas deformaciones bajo cargas estáticas conservativas. Caso límite — elementos pretensados donde el estado inicial altera la respuesta lineal pero la reciprocidad puede mantenerse para la linearización incremental si se cumplen las condiciones. Claramente fuera — sistemas con actuadores no conservativos o fuerte no linealidad geométrica.

Tensión semántica

Reciprocidad (simetría de influencias) ⇄ causalidad/orden de aplicación de cargas: la reciprocidad es una propiedad matemática simétrica bajo linealidad, mientras que experimentos físicos y respuestas dinámicas pueden exhibir efectos direccionales que limitan su uso experimental directo.

Síntesis

Maxwell–Betti revela que, en el régimen lineal y conservativo, los coeficientes de respuesta estructural son simétricos — lo que reduce ensayos y cálculos — pero la simetría depende estrictamente de las hipótesis de linealidad y conservación de energía.