Expresión analítica de la fuerza viscosa de arrastre F sobre una esfera rígida pequeña de radio a que se mueve con velocidad relativa constante y baja v en un fluido newtoniano incompresible: F = 6π μ a v dirigida en sentido opuesto a v, válida en régimen de flujo laminar lento (creeping flow) donde los efectos inerciales son despreciables y se cumple la condición de no deslizamiento en la superficie de la esfera.

Principio

En el régimen de Stokes las ecuaciones de cantidad de movimiento se linearizan y la resistencia de una esfera depende linealmente de la viscosidad μ, del radio a y de la velocidad v; el resultado es una relación lineal asintótica, específica de la geometría, entre fuerza y velocidad para esferas en un fluido newtoniano no confinado.

Demostración

Escenario Ilustrativo — Sedimentación a Bajo Número de Reynolds: Situación: Una partícula esférica pequeña de radio y densidad conocidos se asienta lentamente en un fluido viscoso newtoniano de modo que Re ≪ 1. Reconocimiento: Las fuerzas gravitatoria menos la de flotación se equilibran con la fuerza viscosa. Acción: Igualar la fuerza gravitatoria efectiva a 6π μ a v y resolver para la velocidad terminal v. Consecuencia: La v calculada predice la velocidad de sedimentación; se espera concordancia experimental si Re permanece pequeño y los efectos de pared son despreciables.

Aplicación incorrecta

Usar la ley de Stokes a números de Reynolds moderados o altos, para partículas no esféricas, para partículas cuyo tamaño es comparable a las dimensiones del sistema (efectos de pared) o en fluidos no newtonianos; el error es tratar la fórmula como universal en lugar de como un resultado asintótico para Re pequeño, lo que resulta en estimaciones de arrastre erróneas.

Consecuencia

El uso correcto proporciona estimaciones fiables de la resistencia y velocidades terminales de pequeñas esferas en fluidos viscosos y sustenta cálculos de sedimentación, difusión y reología en el límite de bajo Re. El uso indebido provoca errores cuantitativos significativos, predicciones de asentamiento erróneas y posibles fallos de diseño cuando los efectos inerciales, de forma, de pared o de reología son importantes.

Inversión

Si se viola la condición de no deslizamiento (deslizamiento parcial), si la esfera está cerca de paredes u otras partículas (interacciones hidrodinámicas), o si el fluido es no newtoniano, el factor prefactor y la dependencia con la velocidad cambian; para Re mayores son necesarias correcciones inerciales y coeficientes de arrastre empíricos en lugar de la expresión de Stokes.

Límite

Claro Dentro: Esfera rígida en un fluido newtoniano incompresible no confinado con Re ≪ 1 y no‑slip. Caso Límite: Esfera de diámetro comparable al canal (efectos de pared) o Re ligeramente mayor donde comienzan a ser relevantes correcciones al creeping flow. Claro Fuera: Flujo turbulento o dominado por inercia (Re ≫ 1), suspensiones fuertemente no newtonianas o partículas marcadamente no esféricas que requieren otras leyes de arrastre.

Tensión semántica

Asintótica analítica de bajo Re (ley de Stokes) frente a correlaciones empíricas o leyes de arrastre inerciales usadas a Re moderado‑alto: ambas aproximaciones compiten cuando Re está en la zona de transición y exigen juicio sobre el régimen aplicable y los modelos correctores.

Síntesis

La ley de Stokes es la relación lineal asintótica entre fuerza y velocidad para esferas en el límite de flujo lento: ofrece predicciones claras y fiables sólo dentro de sus hipótesis de bajo Re, no‑slip y fluido newtoniano, y debe reemplazarse o corregirse cuando esas hipótesis no se cumplen.