Technique de tirage stochastique numérique qui estime des quantités (espérances, probabilités, distributions) d’un modèle en réalisant de multiples échantillonnages aléatoires ou quasi‑aléatoires selon des lois spécifiées et en calculant des statistiques empiriques ; l’incertitude résulte de la variabilité d’échantillonnage et de l’erreur d’estimation.

Principe

Sous la mesure de probabilité du modèle, les estimateurs de Monte‑Carlo convergent vers la valeur vraie par la loi des grands nombres ; la précision croît avec la taille N approximativement comme 1/√N, et l’erreur d’échantillonnage peut être réduite par des techniques de réduction de variance ou par l’augmentation de N.

Démonstration

Scénario illustratif — Estimation d’une intégrale : Situation — E[f(X)] n’a pas de forme close. Reconnaissance — choisir une loi pour X et un estimateur non biaisé f(X). Action — simuler N réalisations indépendantes X_i, calculer la moyenne empirique (1/N)∑f(X_i) et estimer un intervalle de confiance à partir de la variance d’échantillon. Conséquence — pour N suffisamment grand la moyenne approximera l’intégrale avec une erreur d’échantillonnage prévisible.

Mauvaise application

Prendre une seule exécution Monte‑Carlo comme vérité ou ignorer la mauvaise spécification du modèle et les diagnostics d’échantillonnage ; l’erreur sémantique est de confondre erreur d’échantillonnage et erreur de modèle ou de supposer la convergence sans évaluer variance et indépendance des tirages.

Conséquence

La méthode permet d’obtenir des estimations numériques et de quantifier l’incertitude pour des problèmes de grande dimension ou avec fonctions de vraisemblance complexes ; ses limites sont le coût de calcul, la lenteur de convergence pour certains intégrandes et la sensibilité à la qualité du générateur aléatoire et à la spécification du modèle.

Inversion

Pour des intégrales de dimension très élevée ou des intégrandes à variance élevée, Monte‑Carlo naïf converge trop lentement ; il faut alors recourir à réduction de variance, quasi‑Monte‑Carlo, importance sampling, intégration déterministe ou reparamétrisation. Si aucun modèle probabiliste n’est défini, Monte‑Carlo n’est pas applicable.

Limite

Clairement inclus — estimation d’espérances, probabilités de queue, intégrales postérieures bayésiennes, tarification d’options par simulation. Cas limite — intégration en dimension modérée à élevée nécessitant réduction de variance. Clairement exclu — problèmes résolus analytiquement de façon efficace par méthodes déterministes.

Tension sémantique

Arbitrage entre coût de calcul et précision statistique : augmenter N réduit l’erreur mais accroît le coût ; existe une tension entre fidélité du modèle (complexité) et faisabilité d’obtenir faible variance.

Synthèse

Monte‑Carlo est la méthode pratique pour estimer attentes et incertitudes quand les solutions analytiques font défaut et qu’un modèle probabiliste existe ; son usage efficace exige réglage de la taille d’échantillon, qualité du RNG, diagnostics et techniques de réduction de variance.