Durée de retard dépendant de la fréquence subie par l'enveloppe d'un composant spectral étroite lors de sa propagation dans un réseau linéaire invariant dans le temps, définie par τg(ω) = −dφ(ω)/dω où φ(ω) est la réponse en phase du réseau ; unités : secondes. Le délai de groupe quantifie la variation de phase en fonction de la fréquence angulaire et prédit la dispersion temporelle et la déformation d'impulsion pour des signaux à bande limitée.

Principe

Parce que le délai de groupe est la dérivée négative de la phase par rapport à la fréquence angulaire, les variations locales de φ(ω) produisent des décalages temporels relatifs entre composantes spectrales ; τg(ω) constant sur une bande signifie que le réseau se comporte comme une pure temporisation pour les signaux confinés à cette bande, alors que τg dépendant de la fréquence entraîne de la dispersion.

Démonstration

Scénario illustratif : Une impulsion à bande limitée centrée en ω0 traverse deux filtres. Le filtre A présente φ(ω) linéaire dans la bande donc τg(ω)≈const ; l'impulsion sort conservant sa forme d'enveloppe et retardée de τg. Le filtre B a une φ(ω) fortement variable donc τg(ω) change sur la bande ; l'impulsion sort élargie et déformée de façon asymétrique car les composantes spectrales arrivent à des instants différents.

Mauvaise application

Confondre délai de groupe et délai de phase (φ(ω)/ω) pour des signaux larges en bande ou supposer qu'une phase constante implique un délai de groupe constant. L'erreur sémantique est de confondre une référence de phase par fréquence (délai de phase) avec le chronométrage relatif des composantes spectrales (délai de groupe) ; ils coïncident uniquement pour des conditions étroites en bande ou une φ(ω) purement linéaire.

Conséquence

Un délai de groupe non uniforme sur la bande opérationnelle provoque de l'interférence intersymbole en communications numériques, du ‘ringing’ ou de l'étalement en audio, et des erreurs de synchronisation en radar/métrologie. À l'inverse, viser τg quasi-constant réduit la déformation d'enveloppe mais peut imposer des compromis sur la réponse en amplitude ou l'ordre du filtre.

Inversion

Le concept de délai de groupe suppose une description LTI et une phase déroulable et différentiable. Dans des systèmes fortement dépendants du temps, non linéaires, non causals ou non minimum de phase, l'interprétation simple −dφ/dω peut être indéfinie, discontinue (sauts de phase) ou donner des valeurs négatives nécessitant une interprétation modale ou basée sur l'énergie.

Limite

Clairement dans : un filtre LTI dont la phase déroulée est différentiable sur la bande de signal. Cas limite : filtre avec discontinuités de phase aux bords de bande où τg local est ambigu sans déroulage de phase. Clairement hors : systèmes instantanés sans mémoire (pas de phase), ou analyse en régime sinusoïdal simple pour une seule fréquence où le timing d'enveloppe est sans objet.

Tension sémantique

Compromis de conception entre délai de groupe constant (peu de dispersion) et autres objectifs de filtre tels qu'une atténuation abrupte, une faible perte d'insertion ou un ordre faible ; améliorer l'uniformité de τg augmente souvent la complexité ou dégrade la réponse en amplitude.

Synthèse

Le délai de groupe relie la pente de la phase en fréquence au comportement temporel de l'enveloppe : préserver une enveloppe exige de contrôler la dérivée de phase sur le spectre occupé. Les choix d'ingénierie sur la bande passante, la sélectivité et la linéarité de phase déterminent donc la fidélité temporelle.