Para una estructura linealmente elástica y conservativa con energía de deformación U bien definida en función de las cargas generalizadas aplicadas, la derivada parcial de U respecto a una fuerza aplicada es igual al desplazamiento en el punto y en la dirección de esa fuerza; de modo análogo, la derivada parcial de U respecto a un momento aplicado es igual a la rotación en ese punto. Requiere que U sea diferenciable y deformaciones pequeñas para que valgan el principio de trabajos virtuales y la superposición.

Principio

Dualidad energía–cinemática: el cambio incremental de la energía elástica almacenada por una variación infinitesimal de una carga generalizada coincide con el desplazamiento conjugado que produce esa carga.

Demostración

Escenario ilustrativo (viga elástica): Situación — una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual vertical P en el centro. Reconocimiento — expresar el momento flector M(x) en función de P y calcular U = ∫ (M(x)^2 / 2EI) dx. Acción — calcular ∂U/∂P. Consecuencia — ∂U/∂P proporciona la flecha vertical en el punto de aplicación, coincidiendo con la fórmula directa y demostrando el teorema.

Aplicación incorrecta

Aplicar el teorema a estructuras con cargas no conservativas (seguidores), materiales dependientes del tiempo (viscoelasticidad), grandes deformaciones o cuando la energía de deformación no es única; el error es suponer diferenciabilidad y conservación de energía fuera del ámbito válido.

Consecuencia

Permite obtener desplazamientos o rotaciones a partir de expresiones de esfuerzos internos sin resolver directamente las ecuaciones de equilibrio para desplazamientos; facilita el análisis de sistemas indeterminados y la obtención de coeficientes de influencia cuando se conoce la ley constitutiva elástica y la geometría.

Inversión

Deja de aplicarse o requiere modificación cuando los materiales son no lineales (plasticidad), las cargas incluyen componentes no conservativas, las deformaciones son grandes o procesos disipativos dependientes de la trayectoria alteran la energía almacenada.

Límite

Claramente dentro — viga linealmente elástica con cargas estáticas conservativas. Caso límite — estructura con pequeñas zonas plásticas donde la partición elástico–plástico puede aplicarse localmente pero la diferenciabilidad global se pierde. Claramente fuera — mecanismos de cuerpo rígido (sin energía de deformación) o sistemas dominados por disipación viscosa.

Tensión semántica

Métodos energéticos (Castigliano) ⇄ métodos de rigidez/equilibrio: las formulaciones basadas en energía obtienen desplazamientos por diferenciación de un escalar, los métodos de rigidez por resolución de un sistema de equilibrio; la elección depende de la información disponible y de la conveniencia práctica.

Síntesis

Castigliano formaliza que, si se conoce el funcional de energía, las respuestas cinemáticas aparecen por diferenciación—transformando esfuerzos internos en desplazamientos medibles, pero únicamente en el régimen lineal y conservativo con energía bien definida.