Pour une structure linéairement élastique et conservative dont l'énergie de déformation U est une fonction des charges généralisées appliquées, la dérivée partielle de U par rapport à une force appliquée égale le déplacement au point et selon la direction de cette force ; de même, la dérivée partielle de U par rapport à un moment appliqué égale la rotation en ce point. Le théorème suppose que U est différentiable et que les déformations sont petites afin que le principe des travaux virtuels et la superposition soient valables.

Principe

Dualité énergie–cinématique : la variation infinitésimale de l'énergie élastique stockée due à une variation infinitésimale d'une charge généralisée coïncide avec le déplacement généralisé conjugué produit par cette charge.

Démonstration

Scénario illustratif (poutre élastique) : Situation — une poutre simplement appuyée porte une charge ponctuelle verticale P au milieu de la portée. Reconnaissance — exprimer le moment fléchissant M(x) en fonction de P et calculer l'énergie de déformation U = ∫ (M(x)^2 / 2EI) dx. Action — calculer ∂U/∂P. Conséquence — ∂U/∂P fournit la flèche verticale au point de charge, identique à la flèche obtenue par la formule directe, montrant le théorème en action.

Mauvaise application

Appliquer le théorème à des structures avec charges non conservatives (charges suiveuses), matériaux dépendants du temps (viscoélasticité), grandes déformations, ou quand l'énergie de déformation n'est pas définie de manière unique ; l'erreur consiste à postuler différentiabilité et conservation de l'énergie hors du domaine applicable.

Conséquence

Permet de calculer déplacements ou rotations à partir des expressions des efforts internes sans résoudre directement les équations d'équilibre pour les déplacements ; facilite l'analyse des systèmes statiquement indéterminés et la détermination des coefficients d'influence quand la loi constitutive élastique et la géométrie sont connues.

Inversion

Ne s'applique pas ou doit être modifié si les matériaux sont non linéaires (plasticité), si les charges incluent des composantes non conservatives, si les déformations sont trop grandes pour la linéarisation, ou si des processus dissipatifs dépendants du trajet modifient l'énergie stockée.

Limite

Clairement à l'intérieur — poutre linéairement élastique sous charges statiques conservatives. Cas limite — structure présentant de petites zones plastiques où une partition élastique–plastique locale peut être utilisée mais la différentiabilité globale est perdue. Clairement à l'extérieur — mécanismes de corps rigides (absence d'énergie de déformation) ou structures dominées par la dissipation visqueuse.

Tension sémantique

Méthodes énergétiques (Castigliano) ⇄ méthodes d'équilibre/matrice de raideur : les formulations basées sur l'énergie obtiennent des déplacements par différentiation d'un scalaire tandis que les méthodes de raideur obtiennent les déplacements en résolvant l'équilibre ; le choix dépend des informations disponibles et de la commodité.

Synthèse

Castigliano formalise l'idée que connaître la fonction énergie suffit pour obtenir les réponses cinématiques par différentiation — transformant des efforts internes en déplacements mesurables, mais seulement dans le régime linéaire et conservative où l'énergie est unimodale.