Ecuación diferencial que expresa la condición necesaria para que una funcional S[q]=∫ L(q,q̇,t) dt sea estacionaria frente a variaciones suaves de la coordenada generalizada q con extremos fijos; para un lagrangiano L(q,q̇,t) diferenciable en q y q̇ la condición es d/dt(∂L/∂q̇) − ∂L/∂q = 0, lo que proporciona las ecuaciones de movimiento para sistemas mecánicos de dimensión finita y las ecuaciones de campo análogas para campos.

Principio

La condición de acción estacionaria implica que las trayectorias admisibles anulan la primera variación de la acción; esta identidad variacional equivale a imponer el operador de Euler–Lagrange nulo y convierte un problema variacional en un sistema de ecuaciones diferenciales que determina la dinámica.

Demostración

Escenario ilustrativo — Sistema de un grado de libertad: Situación: Una partícula de masa m se mueve en un potencial V(q) en el intervalo temporal [t0, tf] con L(q, q̇) = ½ m q̇² − V(q). Reconocimiento: El lagrangiano es diferenciable en q y q̇ y las variaciones admisibles se toman de forma que se anulan en los extremos (variaciones de extremos fijos); por tanto la derivación estándar de Euler–Lagrange es aplicable. Acción: Variar la acción S[q]=∫_{t0}^{tf} L(q,q̇) dt y exigir que la primera variación se anule. Se obtiene la ecuación de Euler–Lagrange d/dt(∂L/∂q̇) − ∂L/∂q = 0. Para L = ½ m q̇² − V(q) esto conduce a d/dt(m q̇) + ∂V/∂q = 0, equivalente a m q̈ = −∂V/∂q. Resolver esta ecuación diferencial ordinaria de segundo orden para q(t) imponiendo las condiciones de contorno q(t0)=q0 y q(tf)=qf (problema de valores en la frontera). La existencia, unicidad o multiplicidad de soluciones dependen de la forma de V y del intervalo considerado. (Si en lugar de fijar extremos se pretende obtener evolución única a partir de datos en un tiempo inicial, entonces el planteamiento es diferente: se imponen q(t0) y q̇(t0) y se trata un problema de valores iniciales, distinta formulación respecto a la derivación variacional con extremos fijos.) Consecuencia: Toda trayectoria suave que satisfaga la EDO y las condiciones de contorno es candidata a ser estacionaria de la acción y cumple la ley m q̈ = −∂V/∂q. No obstante, ser solución de la EDO no garantiza ser un mínimo de la acción (puede ser un máximo o un punto silla); comprobar la naturaleza extrema requiere analizar la segunda variación u otros criterios. El incumplimiento de diferenciabilidad del lagrangiano, de las condiciones de variación admisibles o de las condiciones impuestas en los extremos invalida la deducción variacional.

Aplicación incorrecta

Aplicar la ecuación de Euler–Lagrange cuando la acción no es diferenciable, los extremos no están fijos o existen restricciones no holonómicas sin usar multiplicadores adecuados; el error semántico es considerarla universalmente válida sin verificar diferenciabilidad y condiciones de variación admisibles, lo que produce ecuaciones de movimiento incorrectas o incompletas.

Consecuencia

Si se aplica correctamente, la ecuación produce las ecuaciones diferenciales cuyas soluciones son trayectorias estacionarias candidatas; estas ecuaciones determinan la evolución temporal con datos iniciales o de contorno. Aplicación incorrecta puede omitir fuerzas de restricción, violar relaciones de conservación asociadas a simetrías o generar soluciones no estacionarias.

Inversión

Si la funcional depende de derivadas de orden superior, de integrandos no diferenciables o si las variaciones admisibles incluyen los extremos, la forma estándar cambia: aparecen términos de contorno, ecuaciones de Euler–Lagrange de orden superior o términos multiplicadores adicionales. En presencia de restricciones no holonómicas dependientes de la velocidad, se requieren formalismos variacionales con restricciones o multiplicadores generalizados.

Límite

Claro Dentro: Sistema mecánico de dimensión finita con L diferenciable y variaciones de extremos fijos. Caso Límite: Teorías de campo donde el mismo cálculo variacional aplica pero los espacios funcionales, condiciones de contorno y soluciones en el sentido de distribuciones exigen cuidado analítico. Claro Fuera: Problemas sin principio de acción (modelos empíricos no derivables de una funcional) u optimizaciones sin integrandos diferenciables.

Tensión semántica

Formulación variacional (lagrangiana) frente a descripción por fuerzas locales (newtoniana/hamiltoniana): la formulación de Euler–Lagrange enfatiza la estacionariedad global de la acción y la invarianza respecto a coordenadas, mientras que los métodos basados en fuerzas locales pueden ser preferibles cuando predominan fuerzas no variacionales o disipación.

Síntesis

La ecuación de Euler–Lagrange convierte la afirmación variacional en ecuaciones diferenciales operativas: permite obtener trayectorias a partir de un principio de acción, pero su uso correcto exige condiciones de diferenciabilidad, tratamiento de restricciones y atención a términos de contorno.