Para un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) y causal, la integral de Duhamel expresa la respuesta en el dominio temporal y(t) a una entrada arbitraria f(t) como la convolución de la respuesta al impulso h(t) del sistema con la entrada: y(t) = ∫_0^t h(t − τ) f(τ) dτ (más la solución homogénea que incorpora condiciones iniciales). Opera la superposición integrando las contribuciones de impulsos infinitesimales a lo largo del tiempo pasado.

Principio

Dado que la respuesta de un sistema LTI a un impulso desplazado es la respuesta al impulso desplazada y las respuestas se superponen, la respuesta total a una excitación arbitraria es la convolución temporal de la excitación con la respuesta al impulso; la integral de Duhamel implementa esta convolución causal en el dominio temporal.

Demostración

Escenario ilustrativo → Un oscilador con amortiguamiento y un grado de libertad tiene una respuesta al impulso h(t) (medible o derivable). Dada una historia de fuerza f(t) aplicada desde t = 0 en un sistema estable y con parámetros constantes, se calcula el desplazamiento y(t) para t ≥ 0 evaluando y(t) = ∫_0^t h(t − τ) f(τ) dτ y sumando la solución homogénea si existen desplazamiento/velocidad iniciales no nulos.

Aplicación incorrecta

Aplicar la integral de Duhamel a sistemas no lineales, que varían en el tiempo o no causales; el error semántico es asumir superposición lineal e invariancia temporal donde no existen, lo que produce respuestas incorrectas porque las respuestas al impulso y la convolución no son válidas fuera del marco LTI causal.

Consecuencia

Proporciona un método directo en el dominio temporal para computar respuestas del sistema a partir de respuestas al impulso o contribuciones modales, sustentando la simulación temporal, el diseño de control, la respuesta estructural a cargas transitorias y el procesamiento de señales; además contiene la misma información que métodos de función de transferencia pero enfatiza la causalidad y el ensamblaje temporal de los efectos.

Inversión

Para sistemas lineales pero que varían en el tiempo, el núcleo se convierte en una función de Green de dos tiempos G(t, τ) y la respuesta es y(t) = ∫ G(t, τ) f(τ) dτ; para sistemas no lineales se deben usar series de Volterra, integración numérica de las ecuaciones gobernantes o linealización incremental — la convolución simple de Duhamel deja de ser aplicable.

Límite

Claramente dentro: sistemas causales lineales invariantes en el tiempo con respuesta al impulso conocida y entradas definidas para t ≥ 0. Caso límite: sistemas aproximadamente LTI en un rango operativo limitado donde la convolución ofrece predicciones aproximadas útiles. Claramente fuera: dinámicas fuertemente no lineales, sistemas paramétricos variantes en el tiempo o sistemas con núcleos de memoria que violan la superposición.

Tensión semántica

La formulación por convolución temporal de Duhamel compite con los métodos en dominio de la frecuencia por función de transferencia: ambos son equivalentes matemáticamente para sistemas LTI, pero el dominio temporal enfatiza la causalidad y los transitorios mientras que el dominio frecuencial resalta características espectrales y comportamiento en régimen permanente.

Síntesis

La integral de Duhamel es la implementación causal en tiempo del principio de superposición para sistemas LTI: reconstruye la respuesta integrando las contribuciones de impulsos pasados; su fiabilidad depende totalmente de la linealidad, invariancia temporal y causalidad, y se generaliza a funciones de Green para problemas variante en el tiempo.