Pour un système linéaire invariant par translation dans le temps (LTI) et causal, l'intégrale de Duhamel exprime la réponse temporelle y(t) à une excitation arbitraire f(t) comme la convolution de la réponse impulsionnelle h(t) du système avec l'excitation : y(t) = ∫_0^t h(t − τ) f(τ) dτ (plus la solution homogène pour tenir compte des conditions initiales). Elle met en œuvre la superposition en intégrant les contributions d'impulsions infinitésimales sur le temps passé.

Principe

Parce que la réponse d'un système LTI à une impulsion décalée est la réponse impulsionnelle décalée et que les réponses se superposent, la réponse totale à une excitation arbitraire est la convolution temporelle de l'excitation avec la réponse impulsionnelle ; l'intégrale de Duhamel réalise cette convolution causale dans le domaine temporel.

Démonstration

Scénario illustratif → Un oscillateur amorti à un degré de liberté possède une réponse impulsionnelle h(t) (mesurable ou calculable). Étant donné une histoire de force f(t) appliquée à partir de t = 0 dans un système stable en paramètres, on calcule le déplacement y(t) pour t ≥ 0 en évaluant y(t) = ∫_0^t h(t − τ) f(τ) dτ et en ajoutant la solution homogène si les conditions initiales de déplacement/vitesse sont non nulles.

Mauvaise application

Employer l'intégrale de Duhamel pour des systèmes non linéaires, variant dans le temps ou non causaux ; l'erreur sémantique est de supposer la superposition linéaire et l'invariance temporelle là où elles n'existent pas, ce qui donne des réponses incorrectes parce que la réponse impulsionnelle et la convolution ne sont pas valides hors du cadre LTI causal.

Conséquence

Fournit une méthode directe dans le domaine temporel pour calculer les réponses à partir de réponses impulsionnelles ou de contributions modales, et sous-tend la simulation temporelle, la conception de commandes, la réponse structurelle à des charges transitoires et le traitement du signal ; elle contient les mêmes informations que les méthodes par fonction de transfert mais met en évidence la causalité et l'assemblage temporel des effets.

Inversion

Pour les systèmes linéaires mais variant dans le temps, le noyau devient une fonction de Green à deux temps G(t, τ) et la réponse s'écrit y(t) = ∫ G(t, τ) f(τ) dτ ; pour les systèmes non linéaires il faut recourir à des méthodes comme les séries de Volterra, l'intégration numérique des équations du mouvement ou la linéarisation incrémentale — la simple convolution de Duhamel n'est alors plus applicable.

Limite

Clairement dans : systèmes causals linéaires invariants dans le temps avec réponse impulsionnelle connue et entrées définies pour t ≥ 0. Cas limite : systèmes approximativement LTI sur une plage d'exploitation limitée où la convolution donne des prédictions approximatives utiles. Claire­ment hors : dynamiques fortement non linéaires, systèmes paramétriques variant dans le temps ou systèmes avec noyaux mémoire qui violent la superposition.

Tension sémantique

La formulation convolutionnelle temporelle de Duhamel se confronte aux méthodes fréquentielles par fonction de transfert : pour les systèmes LTI, les deux sont mathématiquement équivalentes, mais le domaine temporel insiste sur la causalité et les transitoires alors que le domaine fréquentiel met l'accent sur les caractéristiques spectrales et l'état stationnaire.

Synthèse

L'intégrale de Duhamel est la mise en œuvre causale, dans le domaine temporel, du principe de superposition pour les systèmes LTI : elle reconstruit la réponse d'un système en intégrant les contributions impulsionnelles passées ; sa validité repose entièrement sur la linéarité, l'invariance temporelle et la causalité, et elle se généralise aux fonctions de Green pour les problèmes variant dans le temps.