Pour un écoulement stationnaire, non visqueux et incompressible le long d'une même ligne de courant (en négligeant travail d'arbre et échange de chaleur), la somme de la pression statique p, de la pression dynamique ½ρV² et du terme hydrostatique ρ g z est constante : p + ½ρV² + ρ g z = constante ; cette relation exprime la conservation de l'énergie mécanique par unité de volume le long de la ligne de courant sous ses hypothèses.

Principe

Une augmentation locale de la vitesse d'écoulement le long de la même ligne de courant correspond à une diminution de la pression statique (et inversement), à condition que les hypothèses de Bernoulli soient respectées ; ainsi, les modifications géométriques ou d'altitude qui accélèrent l'écoulement produisent des variations de pression statique prévisibles le long de la ligne de courant.

Démonstration

Scénario illustratif → Écoulement incompressible stationnaire dans une conduite convergente horizontale. Reconnaissance → La continuité accroît V dans le rétrécissement. Action → D'après Bernoulli (p + ½ρV² = constante), la pression statique mesurée à une prise dans le rétrécissement est plus faible qu'en amont. Conséquence → Cette différence de pression peut alimenter des mesures instrumentales ou être utilisée pour estimer la vitesse à partir de mesures de pression lorsque les hypothèses sont vérifiées.

Mauvaise application

Appliquer Bernoulli entre deux points situés sur des lignes de courant différentes, à travers un choc ou une zone séparée, ou dans des écoulements où pertes visqueuses, accélérations non stationnaires, apports de chaleur ou compressibilité sont significatifs ; l'erreur consiste à ignorer les hypothèses du théorème et à attribuer des différences de pression uniquement à des variations de vitesse alors que d'autres processus dominent.

Conséquence

Une application correcte fournit un outil simple pour relier vitesse et pression en conception et mesure (systèmes pitot/static, débitmètres venturi). Une mauvaise application conduit à des estimations erronées de vitesse ou de forces, à une interprétation fautive des instruments et à des décisions de conception dangereuses lorsque pertes visqueuses ou compressibilité ne sont pas négligeables.

Inversion

Lorsque l'écoulement est compressible (Mach élevé), visqueux (couches limites, pertes de charge significatives), instationnaire, rotationnel (vorticité) ou inclut travail/échanges thermiques, la forme simple de Bernoulli échoue et doit être remplacée par les équations d'énergie, des variantes compressibles de Bernoulli ou par le traitement complet de Navier–Stokes avec termes de pertes.

Limite

Clairement dans : écoulements stationnaires, incompressibles, non visqueux, sur une seule ligne de courant sans échange de travail/ chaleur (par ex. régions de flux potentiel hors parois). Cas limite : régions de couche limite à Re modéré où Bernoulli peut approximer l'écoulement externe mais échoue dans la sous‑couche visqueuse. Clairement hors : écoulements avec chocs, dissipation visqueuse forte, séparation ou instationnarité significative.

Tension sémantique

La simplification de Bernoulli est en tension avec la description complète de Navier–Stokes : Bernoulli offre une intuition et des relations simples sous des hypothèses restrictives, tandis que Navier–Stokes fournit une description complète mais souvent numerique et plus complexe ; le choix entre les deux implique un compromis entre maniabilité et fidélité.

Synthèse

Bernoulli condense la conservation d'énergie mécanique à une relation compacte utile pour la raison conceptuelle et les mesures simples, mais son usage correct exige la vérification explicite de ses hypothèses et, quand elles échouent, la compensation par des termes de perte ou un modèle dynamique des fluides plus complet.