Relation linéaire entre les moments fléchissants en trois appuis consécutifs d’une poutre continue élastique, obtenue par compatibilité des fléchissements et la théorie de la flexion d’Euler–Bernoulli linéarisée ; elle réduit l’indétermination statique en couplant les moments inconnus des appuis via les longueurs d’une travée et les rigidités en flexion, permettant de résoudre la flexion sous l’hypothèse de petites déformations et d’élasticité linéaire.

Principe

La continuité des déplacements et des rotations (pentes) aux appuis, combinée aux lois cinématiques linéaires de la flexion, engendre une relation linéaire entre moments adjacents pondérés par la géométrie des travées et les rigidités en flexion ; l’assemblage de ces relations sur tous les appuis donne un système linéaire solvable pour les moments inconnus.

Démonstration

Scénario illustratif : poutre continue à trois travées identiques et EI constant. Reconnaissance : les appuis intermédiaires entraînent des moments inconnus. Action : écrire l’équation à trois moments pour chaque triplet d’appuis et résoudre le système linéaire obtenu. Conséquence : les moments d’appui calculés satisfont à la compatibilité et à l’équilibre et déterminent le diagramme des moments et les réactions.

Mauvaise application

Appliquer la relation des trois moments lorsque les hypothèses d’Euler–Bernoulli ne sont pas respectées (p. ex. poutres profondes où la déformation en cisaillement est importante, grandes déformations introduisant non‑linéarité géométrique, ou appuis articulés qui cassent la continuité des moments), ou l’utiliser pour des travées simplement déterminées comme formule universelle.

Conséquence

Transforme un problème de poutre continue statiquement indéterminé en un problème d’algèbre linéaire dont la solution donne moments internes et réactions sous les hypothèses élastiques et de petites déformations ; une application incorrecte conduit à des distributions de moments erronées et à des conceptions non fiables.

Inversion

Le théorème ne tient pas si la non‑linéarité matérielle ou géométrique domine (plasticité, grandes déformations), si la déformation en cisaillement ou l’inertie de rotation sont pertinentes (régimes de Timoshenko ou dynamiques), ou si la continuité en un appui est supprimée (appui articulé), auquel cas les relations de compatibilité des moments changent.

Limite

Valable pour la flexion linéaire élastique et de petites déformations de poutres élancées obéissant aux hypothèses d’Euler–Bernoulli, avec appuis assurant la continuité des pentes et déplacements ; exclut les plaques, les poutres profondes nécessitant correction de cisaillement et les comportements non élastiques ou cinématiques discontinus.

Tension sémantique

Commodité analytique versus fidélité du modèle : la relation à trois moments simplifie l’indétermination en algèbre linéaire mais peut induire en erreur lorsque des effets d’ordre supérieur sont pertinents ou lorsque des méthodes numériques plus complètes sont disponibles.

Synthèse

Le théorème de Clapeyron est une contrainte de compatibilité codée algébriquement : il capture la continuité élastique entre appuis pour résoudre l’indétermination uniquement dans le domaine strict de la théorie linéaire d’Euler–Bernoulli.