Construction géométrique qui représente un état de contrainte bidimensionnel sur un plan en traçant la contrainte normale (σ) en fonction de la contrainte de cisaillement (τ) de sorte que la rotation du plan matériel corresponde au déplacement sur le cercle ; les contraintes principales apparaissent aux extrémités du cercle et la contrainte de cisaillement maximale est donnée par le rayon.

Principe

Les transformations de contraintes planes par rotation sont équivalentes au déplacement d’un point autour du cercle : le centre du cercle est la contrainte normale moyenne et le rayon représente la déviation qui produit le cisaillement ; les valeurs et orientations principales s’en déduisent directement.

Démonstration

Calcul illustratif → Pour σx, σy et τxy d’un élément en état plan, construire le cercle centré en ( (σx+σy)/2 , 0 ) et de rayon égal à la racine carrée de la somme des carrés de la demi‑différence et du cisaillement ; les intersections du cercle avec l’axe σ donnent σ1 et σ2 et la position angulaire indique les orientations des plans principaux.

Mauvaise application

Appliquer la procédure du cercle de Mohr 2D sans tenir compte des contraintes hors plan ou en utilisant une convention de signe du cisaillement incohérente ; une telle erreur donne des valeurs ou orientations principales incorrectes bien que la construction paraisse suivie correctement.

Conséquence

Correctement utilisé, le cercle de Mohr fournit contraintes principales, cisaillement maximal et orientations de plan avec une clarté géométrique et permet de vérifier les transformations algébriques ; mal utilisé, il peut conduire à des entrées de calcul incorrectes (p. ex. direction principale erronée) compromettant l’évaluation de la résistance.

Inversion

La version 2D du cercle de Mohr ne rend pas compte des états de contraintes tridimensionnels ; lorsque des contraintes à l’épaisseur ou triaxiales sont significatives, il faut employer les méthodes d’autovaleurs (contrastes principales) 3D ou la représentation de Mohr en paires de cercles plutôt qu’un seul cercle 2D.

Limite

Clairement dans : problèmes en contraintes planes ou en déformation plane où σz≈0 et l’état 2D est approprié. Cas limite : plaque mince avec contrainte hors plan modérée où l’approximation 2D peut mal estimer les valeurs principales. Hors : champs de contraintes 3D entièrement triaxiaux nécessitant une analyse tensorielle complète.

Tension sémantique

Intuition géométrique versus formalisme tensoriel : le cercle apporte visualisation et interprétation angulaire immédiates, tandis que les méthodes tensorielles sont algébriquement générales et extensibles au 3D ; les deux traduisent les mêmes transformations mais échangent intuition contre généricité dimensionnelle.

Synthèse

Le cercle de Mohr est l’expression géométrique de la transformation du tenseur des contraintes en plan : il convertit les manipulations algébriques des composantes en une construction visuelle fondée sur les angles, facilitant la détermination des contraintes principales et du cisaillement maximal, mais son applicabilité directe cesse dès qu’apparaît un véritable état 3D.