Lokale, punktweise Darstellung der Erhaltung des linearen Impulses in einem Kontinuum: ρ (D v / D t) = ∇·σ + ρ b, wobei ρ die Massendichte, v das Geschwindigkeitsfeld, D/Dt die Materialableitung, σ der Cauchy‑Spannungstensor und b die Körperkraft pro Masseneinheit sind. Die Gleichung besagt, dass die Trägheit (Masse × Beschleunigung) gleich der Divergenz innerer Spannungen zuzüglich äußerer Körperkräfte ist, unter den Annahmen des Kontinuums und ausreichender Differenzierbarkeit.

Prinzip

Die Beschleunigung eines Materialelements wird durch das lokale Ungleichgewicht zwischen Spannungsdivergenz und Körperkräften verursacht; zusammen mit einer konstitutiven Beziehung für σ ergibt sich ein geschlossenes PDE‑System für die Bewegung.

Demonstration

Illustratives Beispiel: ein kleines Fluidelement in einem druckgetriebenen Strom. Erkennung: ein lokaler Druckgradient erzeugt ein nichtnulles ∇·σ. Handlung: Bestimmen von ρ (D v/D t) aus der beobachteten Geschwindigkeitsänderung. Folge: die gemessene Beschleunigung stimmt mit (∇·σ)/ρ plus den Körperkraftbeiträgen (z. B. Schwerkraft) überein und bestätigt die Impulsbilanz am Kontinuumspunkt.

Fehlanwendung

Die Gleichung direkt auf molekulare Skalen oder diskrete Teilchensysteme anzuwenden, ohne einen Kontinuumsgrenzwert zu bilden; oder den Trägheitsterm (Materialableitung) in Regimen zu vernachlässigen, in denen unstationäre oder konvektive Beschleunigung wesentlich ist (falsche Annahme der quasistatischen Lösung).

Konsequenz

In Verbindung mit konstitutiven Gesetzen und Rand-/Anfangsbedingungen liefert sie die gehenden PDEs (z. B. Navier–Stokes für newtonsche Fluide, Impulsgleichungen für elastische Festkörper), deren Lösungen Geschwindigkeiten und Spannungen bestimmen; fehlende physikalische Abschlüsse führen zu falsch formulierten Problemen.

Umkehrung

Die angegebene Form setzt die klassische Kontinuumshypothese und das Fehlen von Paarkräften oder Mikrostruktur voraus; in mikropolaren, Cosserat‑ oder Couple‑Stress‑Kontinua treten zusätzliche Gleichungen und Terme auf, und σ kann unsymmetrisch sein.

Abgrenzung

Gilt für Kontinua mit ausreichender Regularität zur Definition räumlicher Ableitungen, auf Längenskalen, auf denen eine Kontinuumsbeschreibung gilt, und in nichtrelativistischen mechanischen Regimen; schließt singuläre Flächen (außer distributionsmäßig behandelt) und Regime mit diskreten oder molekularen Modellen aus.

Semantische Spannung

Kontinuumsgenauigkeit gegenüber diskreter Modellierung: Die Gleichung ist in der Kontinuumsmechanik zutreffend, kann aber bei fehlender Skalentrennung mit teilchenbasierten Beschreibungen kollidieren.

Synthese

Die Cauchy‑Bewegungsgleichung ist die lokale Rechenvorschrift der Mechanik: Zur Vorhersage einer Beschleunigung müssen Spannungsdivergenzen und Körperkräfte ausbalanciert und eine geeignete konstitutive Schließung angegeben werden.