Énoncé local de la conservation de la quantité de mouvement linéaire dans un continuum : ρ (D v / D t) = ∇·σ + ρ b, où ρ est la masse volumique, v le champ de vitesse, D/Dt la dérivée matérielle, σ le tenseur des contraintes de Cauchy et b la force volumique par unité de masse. L’équation signifie que la masse multipliée par l’accélération matérielle est égale à la divergence des contraintes internes plus les forces volumiques externes, sous les hypothèses de continuum et de différentiabilité.

Principe

L’accélération d’un élément matériel résulte du déséquilibre local entre la divergence des contraintes et les forces volumiques ; couplée à une loi constitutive pour σ, l’équation forme un système d’EDP fermées décrivant le mouvement.

Démonstration

Scénario illustratif : un élément fluide soumis à un gradient de pression. Reconnaissance : le gradient de pression se manifeste par ∇·σ non nul. Action : calculer ρ (D v/D t) à partir de la variation de vitesse observée. Conséquence : l’accélération observée coïncide avec (∇·σ)/ρ plus la contribution des forces volumiques (p. ex. gravité), validant le bilan des quantités de mouvement au point du continuum.

Mauvaise application

Appliquer l’équation directement à l’échelle moléculaire ou pour des systèmes de particules discrètes sans passage au continuum ; ou omettre le terme inertiel (dérivée matérielle) dans des régimes où l’accélération non stationnaire ou convective est significative (erreur de quasi‑statique).

Conséquence

Associée à une loi constitutive et à des conditions aux limites/initiales, elle produit les EDP gouvernantes (p. ex. Navier–Stokes pour un fluide newtonien, équations de la dynamique des solides élastiques) dont les solutions déterminent vitesses et contraintes ; l’absence de fermeture constitutive correcte conduit à des problèmes mal posés ou à des prédictions erronées.

Inversion

La forme donnée présuppose l’hypothèse de continuum classique et l’absence de couples ou de microstructures ; dans les milieux micropolaires, de Cosserat ou à couples de contraintes, des relations supplémentaires et des termes additives modifient l’équation et σ peut être non symétrique.

Limite

S’applique aux milieux continus suffisamment réguliers pour définir des dérivées spatiales, aux échelles où la moyenne par un continuum est valide, et en mécanique non relativiste ; exclut les surfaces singulières (sauf traitement distributionnel) et les régimes nécessitant des modèles discrets ou moléculaires.

Tension sémantique

Fidélité du continuum versus modèle discret : l’équation est exacte en mécanique des milieux continus mais peut être incompatible avec une description particulaire si la séparation d’échelle fait défaut.

Synthèse

L’équation de Cauchy est la règle locale de comptabilité mécanique : prédire une accélération exige d’équilibrer divergence des contraintes et forces volumiques, puis de fournir une fermeture constitutive adaptée au modèle de continuum choisi.