Declaración local, punto por punto, de la conservación del momento lineal en un continuo: ρ (D v / D t) = ∇·σ + ρ b, donde ρ es la densidad de masa, v el campo de velocidad, D/Dt la derivada material, σ el tensor de tensiones de Cauchy y b la fuerza de volumen por unidad de masa. La ecuación expresa que la masa por aceleración material es igual a la divergencia de las tensiones internas más las fuerzas de volumen externas, bajo las hipótesis de continuo y diferenciabilidad.

Principio

La aceleración de un elemento material proviene del desequilibrio local entre la divergencia tensional y las fuerzas de volumen; combinada con una relación constitutiva para σ, la ecuación produce EDP cerradas para el movimiento.

Demostración

Escenario ilustrativo: un pequeño elemento de fluido en un flujo impulsado por presión. Reconocimiento: un gradiente de presión se traduce en ∇·σ distinto de cero. Acción: calcular ρ (D v/D t) a partir del cambio de velocidad medido. Consecuencia: la aceleración observada concuerda con (∇·σ)/ρ más la contribución de fuerzas de volumen (p. ej. gravedad), validando el balance de momento en el punto del continuo.

Aplicación incorrecta

Aplicarla directamente a escalas moleculares o a sistemas de partículas discretas sin pasar al límite continuo; u omitir el término inercial (derivada material) en regímenes donde la aceleración convectiva o no estacionaria es relevante (asunción errónea de cuasiestaticidad).

Consecuencia

Al combinarse con leyes constitutivas y condiciones de contorno/iniciales apropiadas, genera las EDP gobernantes (p. ej. Navier–Stokes para fluidos newtonianos, ecuaciones de movimiento para sólidos elásticos) cuyas soluciones determinan velocidades y tensiones; la falta de cierre constitutivo adecuado conduce a problemas mal planteados o a predicciones incorrectas.

Inversión

La forma indicada requiere la hipótesis clásica del continuo y la ausencia de esfuerzos de par o microestructura; en continuos micropolares, Cosserat o de esfuerzo por par aparecen relaciones adicionales y σ puede ser no simétrico.

Límite

Se aplica a continuos con regularidad suficiente para definir derivadas espaciales, en escalas donde la descripción continua es válida y en mecánica no relativista; excluye superficies singulares (salvo tratamiento por distribuciones) y regímenes que demanden modelos discretos o moleculares.

Tensión semántica

Fidelidad del continuo frente al modelado discreto: la ecuación es exacta en mecánica del continuo pero puede no ser compatible con descripciones particuladas si falta separación de escalas.

Síntesis

La Ecuación de Movimiento de Cauchy es la regla local de contabilidad mecánica: para predecir aceleraciones hay que equilibrar divergencias de tensiones y fuerzas de volumen y proporcionar un cierre constitutivo adecuado al modelo de continuo elegido.